Disclaimer: вполне вероятно, что данный результат давно был кем-то получен или выводится из каких-то более общих результатов для матриц подобного вида, но я не знаток матричной математики, а серьёзный поиск предпринимать было лень.

Пусть n ∈ ℕ, определим A(n) как n×n-матрицу следующего вида:

  1     2    3   ...  (n−2) (n−1)   n
  2     3    4   ...  (n−1)   n     1
  3     4    5   ...    n     1     2
                 ...
                 ...
                 ...
(n−2) (n−1)  n   ...  (n−5) (n−4) (n−3)
(n−1)   n    1   ...  (n−4) (n−3) (n−2)
  n     1    2   ...  (n−3) (n−2) (n−1)

Википедия сообщает, что данные матрицы являются подмножеством класса матриц, называемых «антициркулянтами».

Оказалось, что для любого n не составляет труда выписать матрицу A⁻¹(n). Приведённая ниже конструкция была получена эмпирически, затем проверена аналитически «на бумажке».

Обозначим q = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, a = (1 − q), b = (1 + q), c = nq, тогда матрица cA⁻¹(n) имеет следующий вид:

a  1  1  1  ...  1  b
1  1  1  ...  1  b  a
1  1  ...  1  b  a  1
...
...
...
1  1  b  a  1  ...  1
1  b  a  1  1  ...  1
b  a  1  1  1  ...  1

То есть также является «антициркулянтом», не содержащим нулевых элементов.
Доказать то, что указанная конструкция действительно даёт нам обратную к A(n) матрицу, не составляет большого труда. Для этого достаточно проверить, что:

• (1, 2, 3, …, n)^T(a, 1, 1, …, 1, b) = c;
• при i = 1, 2, …, (n−1) имеем i(b + a) + a + q − 2i − 1 = 0 — для всех прочих перестановок.