Category Archives: Uncategorized

Групповая операция на основе операции возведения в степень

Недавно наткнулся на пусть очевидный в общем-то при ближайшем рассмотрении, но всё же интересный факт:

(\forall a\in R)(\forall b\in R)\ a^{\ln{b}} = b^{\ln{a}},
R = \{\,x\in\mathbb R\mid x>0 \land x\neq 1\,\} = \mathbb R_+\setminus\{1\}.

Коммутативность данной операции

a\ast b\colon R\times R \to a^{\ln{b}}\colon R

очевидна ввиду тождества

a^{\ln{b}} \equiv \exp(\ln{a}\ln{b})

и, наряду с прочими групповыми свойствами (ассоциативность, наличие нейтрального элемента, наличие обратного элемента) является отражением групповых свойств операции умножения на действительных числах (аналог на комплексных числах я не рассматривал).

Нейтральный элемент e = \exp 1 (можно ввести аналоги для других оснований):

a\ast e = e\ast a = \exp{\ln{a}} = a.

Обратный элемент для некоторого a также получить не трудно:

a\ast b = e \Leftrightarrow b = \exp\dfrac{1}{\ln b} = e\ast \log_b{e}.

Обычная единица может играть роль нуля кольца (не имеет обратного элемента, аналогом сложения тогда выступает умножение, легко показать дистрибутивность) и при подстановке 1 в определение операции получаем:

1\ast a = a\ast 1 = 1.

Вообще, вся конструкция (\mathbb R_+, \cdot, \ast) образует поле.

Реклама

Простые годы

18 век

1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789

19 век

1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889

20 век

1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999

21 век

2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099

Каждый механик должен знать …

… что декларирует государственный образовательный стандарт касательно его (механика) специальности (механика и математическое моделирование):