Monthly Archives: Декабрь 2019

π(p)

By evetro on | Оставьте комментарий

Академического интереса ради решил посчитать число пи для разных p-норм.
Итак, определим число пи как отношение длины окружности к её диаметру. Для простоты будем рассматривать единичную окружность. Благодаря симметрии, вычислить пи можно, проинтегрировав её «четвертинку» (x>0, y>0) и умножив результат на 2 (диаметр единичной окружности равен 2). В случае p-нормы имеем

\|(x,y)\| = \sqrt[p]{|x|^p + |y|^p}.

Положив норму равной единице и взяв x\geq 0, y\geq 0, выразим

y(x) = \sqrt[p]{1 - x^p},\quad y'(x) = -x^{p-1}(1 - x^p)^{1/p - 1}.

Длину кривой будем считать в той же p-норме:

l = \int_{x_0}^{x_1}\sqrt[p]{1 + |y'(x)|^p}\,dx.

Таким образом,

\pi(p) = 2\int_0^1\sqrt[p]{1 + x^{p(p-1)}(1 - x^p)^{1-p}}\,dx.

График \pi(p) для p\in [1, 6] (интегрирование выполнялось численно):

Как и ожидалось, \pi(2) даёт знакомое нам число «пи», и, видимо, глобальный минимум данной функции (например, \pi(1) = 4). Итак, евклидова метрика — особая: в ней окружность имеет минимальную длину. Вероятно, это следствие того факта, что только в 2-норме среди p-норм произвольный поворот не изменяет длины векторов.

Posted in: Speculations | Tagged: , , ,